因为正定二次型与正定矩当阵有密切的联系，所以策终送益史种在定义正定矩阵之前，让我们先定义米认序皮正定二次型:
若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对务任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。
- 中文名称 非负定矩阵
- 外文名称 nonnegative definite matrix
矩阵定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x)为正定(半正定)二次型。
相应的，正定(半正定)矩阵和负定来自(半负定)矩阵的定义为:
令A为 n 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0)，则称A正定(半正定)矩阵;反之爱础系牛字双印上以冲，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 f(x)<0(≤ 0)， 则称A负定(半负定)矩阵。
例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。
判别方法
正定矩阵辨别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法:
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特们钢黑限测都征值全是正数。
证明:若 ， 则有
叫 ∴λ>0
反之，必存在U使
即
有
这就证明了A正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负。
2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
什圆边德条理调 证明:A正定
二次型 正定
A的正惯性指数为n
3.n阶对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是360百科存在 n阶可逆矩阵U使 ;进一步有 (B为正定(半正定)矩阵)。
特若白证明:n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使
刑转东介令 则
令 则
反之，
∴A正定。
同理可证A为半正定时的情况。
4.n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 。
证明:(1)∵n阶对称呀矩阵A正定
∴ 是正定二次型
现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有
∴
∴A正实降氧职绍言价管板定
∴存在可逆矩阵C ，使
5.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的 n 个顺序主子式全大于零。
证明:必要性:
设还技朝二次型 是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
模范映课曲散二独得 ，
现证 是一个k元二次器增误令土连胞分消型。
∵对任意k个不全为零的实数 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩叶初具滑拿穿宁阵
是正定矩阵
即
即A的顺序主子式全大于零。
充抓场饭南胶分性:
对n作数学归纳法
当n=1时，
∵ ， 显然 是正定的。
假设对n-1元实来粒当觉增手注都二次型结论成立，现证明n元的情形。
令 ， ，
∴A可分块写成
∵A的顺序主子式全大于零
∴ 的顺序主子式也全大于零
由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令 ，
有
令 ，
就有
两边取行列式，则
由条件 得a>0
显然
即A合同于E ，
国配步端船头又续印但元 ∴A是正定的。
负定矩阵判别方法
1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为想培车督联绿束否建n。
2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特纸激请月绿征值全小于零。
3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足。
即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
半正定矩阵判别方法
1.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至类牛率哪少有一个特征值等于零。
3.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注:3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如:
矩阵 的顺序主子式 ，但A并不是半正定的。
