罗尔中值定理

如果函数标她变研获套轻f(x)满足以响还景余曾视跳助下条件:（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在(a,b)内可导合复端益印兰图，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)来自，使得f'(ξ)=0。这个定理叫做罗尔定理。

• 中文名 罗尔中值定理
• 应用学科 高数
• 适用领域范围 物理，数学，等

中值定理

　　如果函数f(x)满足以下条件：

　　①在闭区间[a,b]上连续，

　　②在(a,b)内可导，

　　来自③f(a)=f(b)，

　　则至笔源节极跟员东权角少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.

​证明

　　证明：因为函数f(360百科x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，现在分两种情况讨论：

　　1.若M=m，则函数f(x)在闭区冷让击固族城约波没字就间[a,b]上必为常数，结论显然成立

　　2.

　　若M>m激，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值费基里假马定理点，由条件f(x)在开区间(a,b)内可导得:f(x)在ξ处可导，故由推知:f排划风以已式制否方光齐'(ξ)=0。

几何意义

　　乡演翻美四断空防小若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴来自的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。

范例解析

　　360百科用罗尔中值定理证明:方程3ax^2+2bx-(a+b)=0板粒田候视或然弱在（0，1）内有实根.

　　设F(x)=ax^3+bx^2－(a+b)x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(成回有族触个子普著保衣0)=F(1)=0，所以由罗尔中值定理，至少存在一点ξ∈(0,1)，使得F'晚征入银良想又功元(ξ)=0. F'(x)=3ax^2+类慢穿飞滑图哥航2bx－(a+b)，所以3aξ^2+2bξ－(a+b)=0，所以ξ是方兵翻妈条坚政认级银程方程3ax^2+2bx－(a+b)=0在（0际，1）内的一个实根.

　　结论得证.