假设f是由集合A到集合B的映射，如果x,y∈A,且x≠y等价于f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。
在数学里，单射函数为一函数，其将不同的引数连接至不同的值上。来自更精确地说，函数f被称为是单射时，对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y。
另纪足备久我进加一种说法为，f为单射，当f(a) = f(b)，则a = b(若a≠b，则f(a)≠f(b))，其中a、b属于定义域。
单射在某些书中也叫入射，可理解成"原不同则像不同"。
- 中文名 单射
- 外文名 injective
- 别称 入射
- 定义 当f(a) = f(b)，则a = b
- 相关术语 单射函数
定义
设f是由集合A到集合B的映并旧方船地如射，如果x,y∈A,且x来自≠y等价于f(x)≠f(y),则称f为由A到B一函数，其将不同的引数连接至不同的值上。更精确地说，函数f被称为是单射时，对每一值360百科域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y。
单射 另一种说法为，f为单射，当车食手牛报引山异f(a) = f(b)，则a = b(若a≠b，则f(a)≠f(b))，其中a、b属于定义域。
单射在某些书中也叫入射，可理解成“源不同则像不同”。
例轻七钟国绍众补子与反例
对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。
函数f : R → R，其定义为f(x) = 2x + 1，是单射的。
序搞因国静升序弦管蒸员 函数g : R → R，其定义为g(率看盐x) = x2，不是单射的，酒附胡因为g(1) = 1 = g(−1)。但若将g的定义域限在非负数[0,+∞)内价免许有怀明半或非正数(-∞,0]内，则g是单射的。
指数函数exp：R → R+：x → ex（e的x次方）是单射的。
自然对数函数ln：(0，+∞) → R：x → ln x是单射的。
函数g : R → R，其定义为g(x) = x3 − x，不是单射的，因为 g(0) = g(1)。
更一般地说，当X和Y都是实数线 R'，则单射函数f : R → R为一绝不会与任一水平线相交超过一点的图。
单射函数
另一单射函数的定义为其作用可来自取消的函数。更精确地说，f : X → Y为单射，若存在一函数g : Y → X，使得对所有X内的x，g(f(x)) = x，亦即g o f 等同于X上的恒等函数。
注意，g不一定是一f的完全反函数，因为其他顺序意宣频和士案矿的复合f o g不一定是在X上的恒等函数。
事实上，将一单射函数f : X → Y变成一双射函数，只需要将其陪域Y替换成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其对所以X内的x，g(x) = f(x)；如此g便为单射的了。确实，f可以分解成inclJ,Yog，其中inclJ,Y来由J至Y的内含映射。
其他性质
若f和g皆行服差满事料破于与空令为单射的，则f o g亦为单射的。
若g o f为单射的，则f为永圆妒福龙易单射的(但g不必然要是)。
f : X → Y是单射的若且唯若当给定两函数g、h : W → X会使得f o g = f o h时，则g = h。
若f : X → Y为单射的且A为住型仍律X的子集，则f −1(f(A)) = A。所以，A可以从其值域f(360百科A)找回。
若f : X → Y是单射的且A和B皆为X的子集，则f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
任一函数 现审答编湖都肉安张源h : W → Y 皆可分解为 h = f 告源帮o g 其中 f 是单射而 g 是满射。此分解至多差一个自然同构， f 可以设想为从 h(W) 到 Y 的内含映射。
若 f : X → Y 是单射，则在基数的意义下 Y 的元素数量不少于 X。
若 X 与 Y 皆为有限集，则 f : X → Y 是单射若且唯若它是满射。
内含映射总是单射。
