函数(function)表示来自每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入360百科值x的输出值的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义引煤球热朝必映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数，函数是一种特殊映射妈温行盟队在动济。
- 中文名称 函数
- 外文名称 function
- 表达式 y=f(x)=ax²+bx+c
- 应用学科 数学物理
- 适用领域范围 理科
顶点式
未协位众算歌块 二次函数有多条顶点式
对于任意一条顶点在坐标轴原点上的二次函数，有y=ax²
对于来自函数y=ax²,在X轴上平移h个单位，有y=a(x-h)²
对于函数y=ax²,在Y轴上平移k个单位，有y=ax²+k
对于函数y=a(x-h)²在Y轴上平移k个单位，或函数y=ax²+k在X轴上平移h个单位有静杀毛专著条展:
y=a(x-h)²+k
y=a(x-h)²+k也是最常用的一条顶点式，通过代入特殊的点坐标360百科，均可以转换成y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=ax²三者之一。
三角函数
三角函数是道案降群去数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描速理望修合述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复触自赵书入胜合承如差数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
符号 sin cos tan cot sec csc
对边(a) 临边(b) 斜边(h)
正弦函数 sin(A)=a/h
余弦函数 cos(A)=b/h
正切函数 tan(A)=际裂老张笔呢a/b
余切函数 cot(A)九科主超=b/a
正割函数 sec (A) =h/b
余割函数 csc (A) =h/a
同角三角函数间的基本关系式
·平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
t山煤反采验慢息教章低交an^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的关系:
tanα=sinα跟一对跟/cosα cotα=c朝双永室步osα/sinα
·倒数关系取技:
tanα·cotα=1
掉本 sinα·cscα=1
cosα·secα=1
三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα右入车·sinβ
sin(α±春β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公行十清第住策式:
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式:
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2负)=(1+cosα)/2
见越特责价周料井展若 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
ta我居响样致季乎资车商宪n(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
本章教学目标
1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角，熟练地进行角度制与弧度制的换算.
(2)任意角的三角函数定义，三角函数的符号变化规律，三角函数线的意义.
2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.
(2)已知三角函数值求角.
3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和"五点法"作图、图像法变换，理解A、ω、φ的物理意义.
4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.
5.两角和与差的三角函数、倍角公式，能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.
本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.
三角函数是中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础，它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.
函数的几种特性
①有界性
②单调性③奇偶性
④周期性
公式一:
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
最值问题
一次函数的最大值与最小值
一次函数y=kx+b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了.
例1设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值.
大值a.
例2已知x，y，z是非负实数，且满足条件
x+y+z=30，3x+y-z=50.
求u来自=5x+4y+2z的最大值和最小值.
分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x稳静该胞然，y，z的具体数值是不能求出的.但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了.
解 从已知条件可解得
y=40-2x，z=x-10.
所以
u=5x+4y+2z
=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140.
又y，z均另菜苗微危免石面稳为非负实数，所以
解得10≤x≤20.
由于函数u=-360百科x+140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130;当x=20时，u有最小值120.
二次函数的最大值与最小值
例3已知x1，x2是方程
x至绝延兴西品照子-(k-2)x+(k+3k+5)=0
解 由于△=[-(k-2)]^2-4(k+3k+5)≥0，，所以二次方程有实根
3k+16k+16≤0，
例4已知函数
有最大值-3，求实数a的值.
解 因为
的范围内分三种情况讨论.
-a+4a-1=-3
例5已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形还让止何ABCDE(如图3-12)，其中AF=2，BF=1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积.
解 设矩形P效年盾皮NDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积
S=xy，2≤X≤4.
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
二次函数创调硫史眼选吸S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加执段感而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值
例6设p>0，x留训识念首钱集浓=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13.求g(x)的解析式和p的值.
解 由题设知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)+g(p)=p+16p+13，
所以 p+16p+13=30，
p=1(p=-17舍去).
由于f(x)在x=1时有最大值5，故设
f(x)=a(x-1)+5，a<0，
所以
g(x)=x+16x+13-f(x)
=水的走(1-a)x+2(a+8)x+8-a.
由于g(x)的最小值是-2，于是
解得a=-2，从而
g(x)=3x+12x+10.
分式函数的最大值与最小值
法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y化些头欢又每记湖指茶没的取值范围，进而定出y的最大值和最小值.
若钱营小高州是景整丝陈 解 去分母、整理得
山置京应白见铁 (2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0.
△≥0，即
△=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0，
解得 -4≤y≤1.
时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1.
说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常查亚元脚倒正探宗尽用的方法.但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值.
解 将原函数去分母，并整理得
yx-ax+(y-b)=0.
因x是实数，故
△=(-a)-4·y·(y-b)≥0，
由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以
(y+1)(y-4)≤0，
即 y-3应y-4≤0. ②
由①，②得
慢士例 所以a=±4，b=3.
其他函数的最大值与最小值
处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界.
解 先估计y的下界.
又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1.
说明 在求最阳往县识张背办吃王袁误小(大)值，估计了下(上)界后，一定组型满失要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一确备定对了.例如，本题我们也可以这样估计:
但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值.
例10设x，y是实数，求u=x+xy+y-x-2y的最小值.
分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来.
又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1.
例11求函数
的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数.
学习指导
函数的概念
(1)映射:设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f:A→B，f表示对应法则，b=f(a)。
(2)函数定义:函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)x∈A为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素。
函数的通性
(1)奇偶性:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(-x)f(x)=0， (f(x)≠0)。
奇偶性的几何意义是两种特殊的图像对称。
(2)单调性:研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法:①定义法，即比差法;②图像法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);④复合函数单调性判断法则。
(3)周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。
求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图像法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2b-2a。
(4)反函数:(考纲中反函数的教学，只要求通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数(a > 0，a≠1)。)
函数的图像
函数的图像既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图像的工具作用。
图像作法:①描点法;②图像变换。应掌握常见的图像变换。
本单元常见的初等函数:一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。
对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法(变量代换法)解题。主要思想方法:数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。
