shapley值法是一种数学方法，是指所得与自己的贡献相等，是一种分配方式。普遍用于经济活动中的利益合理分配等问题。sha件货美何编pley值法的来自提出给合作博弈在理论上的重要突破及其以后的发展带来了重大影响。
shapley值法最早热快练落输专望善由美国洛杉矶加州大学教授罗伊德·夏普利(Lloyd Shapley)提出。
- 中文名 Shapley值法
- 外文名 Shapley
- 学科 数学
- 性质 方法
简介
设集合I=〔1,2，……n〕，I的任意子集合S都对应着一个是函数υ〔S或住使留类课广〕，若满足:
υ〔∮〕=0
来自 υ〔Si∪Sj〕≥υ〔Si〕+υ〔Sj〕，Si∩Sj=∮，Si、Sj∈I
则称[I,υ]为多人合作对策，υ为对策的特征函数。
我们用xi表示I中成员i从合作的最大效益υ〔I〕中获得的收入。在合作I的基础下，合作对策的分配用X=〔x1,x2,……xn〕表仍质完花支粒副写善示。显然，该合作成立360百科必须满足如下条件:
∑xi= υ〔I〕
xi ≥ υ〔i根律责盟亚许倍主味没〕，i=1,2，…想…n
在Shapley值法中，联盟成员所得利益分配值成为Sha的进日pley值，通常记作Φ〔υ〕=(φ1见销〔υ〕，φ2〔υ〕，……φn河补染验完〔υ〕)，其中φi〔七υ〕表示联盟中成员i的所得利益:
φi〔υ〕=∑[〔n-|S|〕!〕〔|S|-1〕!/n!](υ(S)-υ(S/i)) (连加范围是S∈Si)
简 其中Si表示包含I中成员i行阶依顾流定散十的所有子集，|S|表采副察顶车极示S中成员的个数，υ(S/i)表示S中除去I后的联盟收益。
推导过程
半日乙运围理达为 s为联合，v(s)为联合s的获利，x为利益的分配向量。
Si表示的是I的包含i的子集族。
shapley值公式的就略六海七推导如下:
总联合收益v(I)可以看作是如下积累起来的:
从一个空联合s'=(此时收益为0)开始依次加入玩家1,2,3,...,n，则s'不断扩允。每加入一个玩家，它都给当前联合带来一个增却可责通益v(s'Ui)-v(s')，蒸春企军贵念医家有:
即当所有玩家轮还识怀石的都加进来后，所有这些增益眼留声领垂晶院层面核积累成v(I)，因此及基这要将v(I)分配给n个人，可以按照他们的加入所带来的增益来分配，即给i分配利益v(s'Ui)-v(s')。
但这样做是有一个缺点，那就是这种分配方法与n个玩家的加入顺序有关，例如:
最初如果先加入玩家1,再加入玩家2，则
玩家1分得利益
玩家2分得利益
而如果先加入玩家2，再加入玩家1，则
可见不同加入顺序下的利益分配是有分歧的。
为了消除这种分歧，需要对所有可能顺序进行平均以得到xi的期望
xi
某一特定加入顺序出现的概率显然是.
所以
xi
=
=...(1)
此式已经可以直接用于计算，也可继续整理如下:
排列中i的增益只取决于i之前加入的玩家集合s'，即s'相同的排列具有相同的i增益。因此可将i的增益按不同的s'进行分类计算:
i前玩家集合为s'的排列有|s'|!(n-|s'|-1)!个，相应的i增益均为v(s'Ui)-v(s')。
所以所有排列的i增益和为.
于是(1)式变为:
xi
=
=
由于用s表示I中包含i的子集，则有s=s'Ui及|s|=|s'|+1，于是得
xi=
即shapley公式:
xi=
