如果集合A是集合B的子集，来自并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集(proper subset)。
- 中文名 真子集
- 外文名 proper subset
- 表达式 A⊊B
- 应用学科 数学
- 别称 真包含
基本介绍
如果A是B的子集，并且B中至少来自有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B360百科的真子集。
A是B的真子集 尔左举按宁压地杂速风报 一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中烟座略由的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。
记作： A⊆B（或B⊇A）
读作：“A包含例什呼烟于B”（“B包含A”）
而真子集是对于子集来说的
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素X∈B，且元素X不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集。
也就是说如果集合A苏图的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元士城语黑充乡王伟盾准素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 最B 的真子集，
相关介绍
真子集和子集的区别
子集就是一个集民导初方二眼合中的全部元素是另一个什树集合中的元素，有可能与另一官胡命所部责乙血个集合相等
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等
子集、真子集与非空子集的计算
若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方），且有2^n-1个真子集，2^n-2个非空真子集
证：设元素编号为1, 准振犯此变压三今简2, ... n，每个子集对应一个长度为n的二进制数。
规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中，0表示元素 i 不在集合中。
即00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]
一共有2^n个数，因此对应2^n个子集
去掉11..氧阶侵自江飞常.1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集
比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3
111 <--> {a, b, c} --> 即集合A
110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中
101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中
... ...
001 <--> { , , c费盟雷声错投长请审诉}
000 <--> { , , } --> 即空集
命题1：空集是任意集合的子集。
证明：给定任意集合 A，要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅乙原兰的元素是A 的元素；但是，∅没有元素。
对有经验的数学家们来说，推论 “∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为∅没有任何元素，如何使“这些元素”成为别的集合的元素？换一种思维将有所帮助。
为了证明∅不是A 的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
必言列安答县袁区害这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题2：若 A，B，C是集合，则：
自反性: A⊆ A反对称性: A⊆ B且 B⊆ A当且仅当厂英历双A= B传递性: 若 A⊆ B且 B⊆ C则 A⊆ C
这个命题说明：对任意集合 S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结概脚爱黄与压合，则它是一个布尔代数。
即犯茶待还始斤施兰命题3：若 A，B，C是集合 S的子集，则：
存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A⊆ S(that ∅ ⊆ A维is Proposition 1 above.)存在并运算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C则A∪B⊆ C存在交运算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B则 C⊆ A∩B
这个命题说明：表述 "A⊆ B" 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。
命题4: 对任意两个集合 A和 B，下列表述等价：
A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B= B′ ⊆ A′
